Задача 31513 3. Найти промежутки монотонности...

vk344135258

2018-12-03 12:20:04

3. Найти промежутки монотонности функции, точек экстремума

[m]y = \frac{x^2-16}{x^2+1}[/m]

4. Найти предел, используя правило Лопиталя: [m]\lim_{x \to 0} \frac{ln(sin3x)}{ln(sinx)}[/m]

sova

2018-12-03 13:15:22

★

3.
Область определения (- ∞ ; + ∞ )
y`=((x^2-16)`*(x^2+1)-(x^2-16)*(x^2+1)`)/(x^2+1)^2

y`=2x*(x^2+1 - x^2+16)/(x^2+1)^2

y`=34x/(x^2+1)^2

y`=0

х=0

Знак производной

___-___ (0) ___+__

y`<0 на (- ∞ ;0), значит функция убывает
y`>0 на (0;+ ∞ ), значит функция возрастает

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

4.

lim_(x→0)(ln(sinx3x))/(ln(sinx))= ∞ / ∞ применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→0)(ln(sinx3x))`/(ln(sinx))`=

=lim_(x→0)(3cos3x/(sinx3x))/(cosx/(sinx))=

=3lim_(x→0)cos3x/cosx)* lim_(x→0)(sinx/sin3x) =

= 3*(cos0/cos0)*(1/3)=1

так как
lim_(x→0)(sinx/sin3x) =(0/0) применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→0)(sinx)`/(sin3x)`=lim_(x→0)(cosx)/(3cos3x)=1/3