Задача 34613 ...

vk46859341

18 марта 2019 г. в 20:44

Вариант 2

1. Решите уравнение:
а) ∛(x – 1) = –3;
б) (x – 1)^1/3 = –3;
в) √(x – 1) = 3;
г) √(x – 1) = –3.

2. Решите уравнение:
а) √(x² – 4) = 1 – 2x;
б) √(x + 2) = 4 – x.

3. Найдите корни уравнения:
а) √3 + √(x – 3) = 2;
б) √x – ⁴√x – 12 = 0;
в) x² + 5 + √(x² + 5) = 12.

sova

18 марта 2019 г. в 22:25

1 a)
Возводим в куб
x–1=(–3)³
x=–27+1
x=–26

в) возводим в квадрат
x–1=3²
x=10

б) особое уравнение.
Если все остальные уравнения – уравнения с радикалами, то это уравнение содержит
переменную в основании степени, а показатель степени дробный (1/3)
Уравнение не имеет корней, так как степенная функция y=x^α определяется на (0;+ ∞) со значениями (0;+ ∞) ( см. приложение 2) и не может принимать значение (–3)

г) то же самое, только арифметический квадратный корень определен на [0;+ ∞) и принимает неотрицательные значения.

2.
а) Возводим в квадрат при условии (1–2x) ≥0
( см. 1г)
x²–4=(1–2x)²
x²–4=1–4x+4x²
3x²–4x+5=0
D=16–4·3·5 < 0
Уравнение не имеет корней

б)Возводим в квадрат при условии (4–x) ≥ 0
( см. 1г)
x+2=(4–x)²
x+2=16–8x+x²
x²–9x+14=0
D=(–9)²–4·14=81–56=25
x₁=(9–5)/2=2; x₂=(9+5)/2=7
Но x₂=7 не удовлетворяет условию (4–x) ≥ 0
Поэтому 7 не является корнем данного уравнения.
Это посторонний корень, который появился после возведения в квадрат.
О т в е т. 2

3a)Возводим в квадрат
3+ √x–3=9
√x–3=6
Возводим в квадрат
x–3=36
x=39
Проверка
√3+√39–3=3
√3+√36=3
√3+6=3
√9=3 – верно
О т в е т. 39
б) Квадратное уравнение относительно корня четвертой степени из х
Обозначим через t
t≥0
cм. пункт 1

тогда √x=t²
t²–t–12=0
D=1+48=49
x₁=(1–7)/2=–3; x₂=(1+7)/2=4
x₁=3 посторонний корень.
так как корень четвертой ( четной степени) не принимает отрицательных значений.

Обратный переход
корень четвертой степени из х = 4
Возводим в четвертую степень
x=4⁴
x=256
О т в е т. 256

в) Квадратное уравнение относительно
√x²+5
Замена
√x²+5=t
t≥0
cм. пункт 1
тогда
x²+5=t²
t²+t=12
t²+t–12=0
D=1+48=49
x₁=(–1–7)/2=–4; x₂=(–1+7)/2=3
x₁=–4 посторонний корень.
так как корень квадратный не принимает отрицательных значений.

Обратный переход
√x²+5=3
Возводим в квадрат
x²+5=9
x²=4
x= ±
О т в е т. ± 2


См. приложение (3)

Неравенства – это особый случай, выставляйте их отдельным вопросом, а пока разберитесь с уравнениями.