Задача 14685 Решите неравенство (4^x-9*2^x)^2+4^(x+1)...

u78379891

03.04.2017

Решите неравенство (4^x-9*2^x)^2+4^(x+1) < 9*2^(x+2)+140

SOVA

03.04.2017

★

Замена переменной:
2^x=t;
t > 0
2^(x+2)=2^x*2^2=4*2^x=4t
4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2
4^(x+1)=4^x*4=4t^2

(t^2-9t)^2+4t^2 < 9*4t+140;
t^4-18t^3+85t^2-36t-140 < 0;
Проверкой убеждаемся, что t=1 является корнем уравнения
t^4-18t^3+85t^2-36t-140 =0
1+18+85+36-140=0
0=0
Значит
t^4-18t^3+85t^2-36t-140=(t+1)*(t^3-19t^2+104t-140)
Проверкой убеждаемся, что t=2 корень уравнения
t^3-19t^2+104t-140=0
8-76+208-140=0
0=0
Значит
t^4-18t^3+85t^2-36t-140=(t+1)*(t-2)*(t^2-17t+70)

t^2-17t+70=(t-7)(t-10)

(t+1)(t-2)(t-7)(t-10) < 0

Применяем метод интервалов

_+_ (-1) _-__ (2) _+__ (7) _-__ (10) ___+___

С учетом t > 0 получаем ответ
0 < t < 2 или 7 < t < 10
Возвращаемся к переменной х
0 < 2^x < 2 или 7 < 2^x < 10
-бесконечность < х < 1 или log_(2) 7 < x < log_(2)10

О т в е т.( -бесконечность;1) U( log_(2) 7; log_(2)10)