Задача 22146 4. Окружность проходит через точки...

slava191

1 сентября 2018 г. в 00:00

4. Окружность проходит через точки M1(1;5) и M2(5;3), а центр ее лежит на прямой x/4+y/4=1. Найти уравнение окружности.

SOVA

1 сентября 2018 г. в 00:00

★

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(a;b) имеет вид:
(x–a)²+(y–b)²=R²

По условию
точка С лежит на прямой
(x/4)+(y/4)=1,
значит координаты точки С удовлетворяют этому уравнению
(a/4)+(b/4)=1
или
a+b=4

Окружность проходит через точки M1(1;5) и M2(5;3), значит координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными
a, b, R
{a+b=4
{(1–a)²+(5–b)²=R²
{(5–a)²+(3–b)²=R²

Вычитаем из второго третье
(1–a)²–(5–a)²+(5–b)²–(3–b)²=0
Применяем формулу разности квадратов
(1–а–5+а)·(1–а+5–а)+(5–b–3+b)·(5–b+3–b)=0
–4·(6–2a)+2·(8–2b)=0
2a–b–2=0
Из первого выражаем b=4–a и подставляем в полученное уравнение
2a–(4–a)–2=0
3a–6=0
a=2
b=4–a=4–2=2

R²=(1–2)²+(5–2)²
R²=10

О т в е т. (x–2)²+(y–2)²=10