Задача 34225 Найдите все значения a, при каждом из...

vk235816663

6 марта 2019 г. в 09:40

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнение

system{(xy²–xy–5y+5)/√5–y = 0; y=ax}

имеет ровно три различных решения.

sova

6 марта 2019 г. в 12:40

★

Задача с параметром. Графический способ решения.

ОДЗ:
5–y>0
y<5

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля
{xy²–xy–5y+5=0
{y ≠ 5

(xy²–xy)–(5y–5)=0
xy(y–1)–5(y–1)=0
(y–1)(xy–5)=0
y–1=0 или xy – 5=0
y=1 или xy=5

Геометрически первое уравнение означает объединение двух линий:
прямой y=1
и
гиперболы
y=5/x
При a> 0 прямая y=ax пересекается с гиперболой в двух точках

Прямая y=ax пересекается с прямой y=1 при всех a ≠ 0

Но если прямая y=ax через точку В (5;1) – общую точку
прямой y=1 и гиперболы xy=5, то получим только два решения!

Осталось иcключить значение a, при котором y=1
⇒
1=a·5 ⇒ a=1/5

и исключить значение a, при котором y=5 ( см. ОДЗ y ≠5)

5=a·1
a=5

и исключить значение a, при котором y> 5 ( см. ОДЗ: y < 5)
⇒ a > 5

О т в е т. (0;1/5)U(1/5;5)