Задача 34225 Найдите все значения a, при каждом из...

vk235816663

2019-03-06 09:40:14

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнение

system{(xy^2-xy-5y+5)/sqrt(5-y) = 0; y=ax}

имеет ровно три различных решения.

sova

2019-03-06 12:40:32

★

[b]Задача с параметром. Графический способ решения.[/b]

ОДЗ:
5-y>0
y<5

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля
{xy^2-xy-5y+5=0
{y ≠ 5

(xy^2-xy)-(5y-5)=0
xy(y-1)-5(y-1)=0
(y-1)(xy-5)=0
y-1=0 или xy - 5=0
y=1 или xy=5

Геометрически первое уравнение означает объединение двух линий:
прямой y=1
и
гиперболы
y=5/x
При a> 0 прямая y=ax пересекается с гиперболой в двух точках

Прямая y=ax пересекается с прямой y=1 при всех a ≠ 0

Но если прямая y=ax через точку В (5;1) - общую точку
прямой y=1 и гиперболы xy=5, то получим только [b]два решения![/b]

Осталось иcключить значение a, при котором y=1
⇒
1=a*5 ⇒ a=1/5

и исключить значение a, при котором y=5 ( см. ОДЗ y ≠5)

5=a*1
a=5

и исключить значение a, при котором y> 5 ( см. ОДЗ: y < 5)
⇒ a > 5

О т в е т. (0;1/5)U(1/5;5)