Задача 37811 ...

vk465310466

30 мая 2019 г. в 14:29

2sin²x+3√2cos(3π/2+x) +2 =0

sova

30 мая 2019 г. в 14:49

★

По формулам приведения
cos((3π/2)+x)=sinx

2sin²x+3√2sinx+2=0
Квадратное уравнение относительно sinx
Замена переменной
sinx=t

2t²+3√2t+2=0
D=(3√2)²–4·2·2=18–16=2

t₁=(–3√2–√2)/4=–√2
t₂=(–3√2+√2)/4=–√2/2

Обратный переход от t к переменной х:

sinx=–√2 – уравнение не имеет корней.
Так как
–√2 < –1
–1 ≤ sinx ≤ 1

sinx=–√2/2

x=(–1)^k ·arcsin(–√2/2)+πk, k ∈ Z

arcsin(–√2/2)=–π/4

x=(–1)^k (–π/4)+πk, k ∈ Z

о т в е т.(–1)^(k+1) (π/4)+πk, k ∈ Z



Можно записать и две серии ответов (это бывает полезно при отборе корней):
При k=2n
x=(–π/4)+2πn, n ∈ Z

При k=2n+1
x=(5π/4) +2πn, n ∈ Z