Задача 27070 4.61) arcsin(sinx)+3arccos(cosx) больше...
Условие
Решение
arcsin(sinx)=x, если (–π/2) ≤ х ≤ π/2;
3arccos(cosx)=3x, если 0 ≤ х ≤ π
Функция
у=arcsin(sinx) определена для любого х
и функция
у=3arccos(cosx) определена для любого х.
y=arcsin(sinx) представляет собой кусочно-непрерывную функцию (cм. рис.1) и
у=3arccos(cosx) тоже представляет собой кусочно-непрерывную функцию (cм. рис.2)
Их сумма представляет собой также кусочно- непрерывную функцию.
На (- бесконечность; (3Pi/2)] неравенство верно при любом х
[b] о т в е т. 1) (- бесконечность; (3Pi/2)] [/b]
Решаем методом интервалов.
A)
[3Pi/2;2Pi]
arcsin(sinx)=x-2Pi
3arccos(cosx)=6Pi -3x
x-2Pi+6Pi-3x больше или равно 3x-18 ⇒
-5x больше или равно -4Pi-18
x меньше или равно (4Pi+18)/5
c учетом интервала [3Pi/2;2Pi] получаем
[b] о т в е т 2).[3Pi/2; (4Pi+18)/5] [/b]
B)
[2Pi; 5Pi/2]
x-2Pi+3x-6Pi больше или равно 3x-18;
x больше или равно 8Pi-18
[b] о т в е т 3) [8Pi-18;5Pi/2]
C)
[5Pi/2; 3Pi]
3Pi-x+3x-6Pi больше или равно 3x-18
x меньше или равно 18-3Pi
[b]о т в е т. 4) [5Pi/2; 18-3Pi] [/b]
D)
[3Pi;7Pi/2]
3Pi-x+12Pi-3x больше или равно 3x-18
-7x больше или равно -18-15Pi
x меньше или равно (18+5Pi)/7
нет решений на [3Pi;7Pi/2], так как
(18+5Pi)/7 < 3Pi
18+5Pi < 21Pi
18 < 16Pi
и далее будет получаться то же самое. Нет решений.
( см. рис.3)
Объединяем ответы и получаем окончательный
О Т В Е Т.
[b](- бесконечность; (4Pi+18)/5] U[8Pi-18; 18-3Pi][/b]
Все решения
