Задача 29537 Дана четырехугольная пирамида SABCD с...

slava191

2018-09-09 12:28:44

Дана четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S и прямоугольником ABCD в основании. Известно, что SA=SB=SC=SD=13, AD=BC=12, AB=CD=5. Из точки А на ребро SC опущен перпендикуляр АН.

А) Докажите, что SH=CH

Б) Найдите длину отрезка НК, где К - точка пересечения ребра SB плоскостью, проходящей через точку Н перпендикулярно ребру SB. [Ларин 14]

sova

2018-09-11 09:57:15

★

а)В основании пирамиды прямоугольник.
По теореме Пифагора
АС^2=AD^2+DC^2=12^2+5^2=144+25=169
[b]AC=13[/b].

Δ ASC - равнобедренный
SA-AC=13

Перпендикуляр AH - высота равнобедренного треугольника, которая одновременно является и [b]медианой[/b].
Значит,
[b] SH=HC[/b]

б)

Рассмотрим треугольник равнобедренный (SB=SC=13)
треугольник SBC.

Высота SP равнобедренного треугольника делит сторону ВС пополам.
ВР=РС=6

В а) доказано, что SH=HC,
значит HP - средняя линия Δ SBC и
HP|| SB

Проводим PF ⊥ SB и HK || PF ⇒ HK ⊥ SB.

HK=PF

PF- высота прямоугольного треугольника SBP.
SB=13
BP=6
SP=sqrt(SB^2-BP^2)=sqrt(169-36)=sqrt(133)

Так как S_(Δ SBP)=(1/2)SB*PF и S_(Δ SBP)=(1/2)*BP*SP, то

PF* SB=BP*SB ⇒ PF=6*sqrt(133)/13

HK=PF=6*sqrt(133)/13
О т в е т.6*sqrt(133)/13