Задача 52027 решите пожалуйста данное неравенство без...
Условие
Решение
Применяем формулу разности квадратов:
[m](lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg\frac{x+5}{20})(lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}+lg\frac{x+5}{20}) <0[/m]
Заменим разность логарифмов логарифмом частного, сумму логарифмов логарифмом произведения ( при этом область определения данного неравенства расширится, что приведет к приобретению посторонних корней)Чтобы этого не произошло, нужно учесть область определения исходного уравнения, поэтому получаем систему неравенств:
[m]\left\{\begin{matrix} \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}>0\Rightarrow x+5>0; x\neq -2\\\\ \frac{x+5}{20}>0\Rightarrow x > -5\\ \\ lg\frac{(x+2)^2(x+5)\cdot 20}{5(x+5)}\cdot lg\frac{(x+2)^2(x+5)^2}{5\cdot 20}<0 \Rightarrow lg4(x+2)^2\cdot lg\frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100} <0\end{matrix}\right.[/m]
Решаем третье неравенство методом интервалов:
[m]lg4(x+2)^2=0[/m] ; [m]lg\frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100}=0[/m] ⇒
[m]4(x+2)^2=1[/m] ; [m] \frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100}=1[/m]
[m](x+2)^2=\frac{1}{4}[/m] ; [m] (x+2)^2\cdot (x+5)^2=10^2[/m]
Извлекаем квадратный корень по формуле: [r]sqrt(x^2)=|x|[/r]
[m]|x+2|=\frac{1}{2}[/m] ; [m] |x+2|\cdot |x+5|=10[/m]
[m]x+2=-\frac{1}{2};x+2=\frac{1}{2}[/m];[m] (x+2)(x+5)=10[/m]или[m] (x+2)(x+5)=-10[/m]
[m]x_{1}=-2\frac{1}{2}; x_{2}=-1\frac{1}{2} [/m] ; [m] x^2+7x=0[/m]; [m]x^2+7x+20=0[/m]
[m]x_{3}=-7; x_{4}=0[/m]
____ (-7) __-__ (-[m]2\frac{1}{2}[/m]) __+__ (-[m]1\frac{1}{2}[/m]) _-__ (0) _+__
C учетом первого и второго неравенства системы, получаем ответ:
(-5;-2)U(-2;-[m]2\frac{1}{2}[/m])U(-[m]1\frac{1}{2}[/m];0)