Задача 29100 Все на картинке ...
Условие
Все решения
Обозначим h - расстояние от точки С до AD, тогда
h/2 - расстояние от точки M до AD
S(Δ AMD) =(1/2)AD*(h/2)
S( Δ CED)= (1/2)ED*h=(1/2)*(AD/2)*h=(1/2)AD*(h/2)=S(Δ AMD)
Значит, S(Δ AMD)=S( Δ CED)
Так как
S(Δ AMD)= S (AMOE) + S (Δ OED)
S( Δ CED)= S ( Δ COD)+ S (Δ OED)
Левые части равны, приравниваем правые
S (AMOE) + S (Δ OED)=S ( Δ COD)+ S (Δ OED) ⇒
S (AMOE)=S ( Δ COD)
б)
Продолжим MD до пересечения с BC в точке К
Δ AMD и ΔBMK равны по
стороне ( АМ=МВ) и двум прилежащим к ней углам
∠ KMB=∠AMD - вертикальные
∠ KBM=∠MAD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей АВ
Значит,
КB=AD=5
Δ KOC и OED подобны по двум углам.
∠ KOC=∠EOD - вертикальные
∠ KCO=∠EOD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей CE
Из подобия следует пропорциональность сторон
CO:OE=KC:ED=(5+2):2,5=14:5
S( Δ CED) : S ( Δ EOD)=CE:OE=19:5
S( Δ COD)=(14/19)*S( Δ CED)
Так как
S( трапеции ABCD)=(BC+AD)*h/2=(2+5)*h/2=7h/2
S( Δ CED)=(1/2)ED*h=(1/4)AD*h=5h/4
то
S(AMOE)=S( Δ COD)=(14/19)*S( Δ CED)=
=14/19)*(1/2)ED*h=
=(14/19)*(5h/4)=(5/19)*(7h/2)=
=5/19) S( трапеции ABCD)
О т в е т. 5/19 