Задача 21707 а) Решите уравнение...

slava191

25 декабря 2017 г.

а) Решите уравнение cos²x+4cos²3x+4cos3xcosx–6cosx–12cos3x=–9

б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2015π; 2017π]

SOVA

25 декабря 2017 г.

★

а)
Выделим полный квадрат
cos²x+4cos²3x+4cos3x·cosx=
=(cosx+2cos3x)²

Уравнение принимает вид
(cosx+2cos3x)²–6·(cosx+2cos3x)+9=0
Формула квадрата разности
(cosx+2cos3x–3)²=0
cosx+2cos3x–3=0
cosx+2cos3x=3
Так как наибольшее значение косинуса 1, то равенство возможно лишь при
{cosx=1
{2cos3x=2

Система
{cosx=1 ⇒ x=2πk, k ∈ Z
{cos3x=1⇒ 3x=2πn, n ∈ Z ⇒ x=(2π/3)n, n ∈ Z

Решение удовлетворяющее системе
x=2πk, k ∈ Z
(см. рис.)

б) Указанному промежутку удовлетворяет х=2016π


О т в е т. а)2πk, k ∈ Z; б) 2016π