Задача 42365 Сравнить бесконечно малые...
Условие
математика ВУЗ
721
Решение
★
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1-arctg^{3}x)}{\sqrt[3]{x^2+1}-1}[/m]
так как
[m]\lim_{x \to 0}\frac{ln(1-arctg^3x)}{(-arctg^3x)}=1[/m],то
и
[m]\lim_{x \to 0}\frac{arctg^3x)}{x^3}=\lim_{x \to 0}(\frac{arctgx}{x})^3=1[/m],то
ln(1-arctg^3x) ∼ -arctg^3x∼-x^3 при x → 0
так как
[m]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x^2+1}-1}{\frac{1}{3}x^2}=1[/m],то
[m]\sqrt[3]{x^2+1}-1 ∼ \frac{1}{3}x^2[/m] при x → 0
Поэтому
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1-arctg^{3}x)}{\sqrt[3]{x^2+1}-1}=\lim_{x \to 0 }\frac{-x^3}{\frac{1}{3}x^2}=0[/m]
О т в е т. см определение ( случай q=0)