Задача 29149 ...

slava191

31 июля 2018 г.

4.3.134) Показать, что фокус параболы и точки касания двух касатель­ных к параболе, проведенных из любой точки директрисы, ле­жат на одной прямой.

SOVA

8 января 2018 г. в 00:00

★

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, точка F– фокусом параболы.
Cм. рис. 1

F – фокус параболы.
A₁ и A₂ – точки касания параболы
и касательных CA₁ и СА₂
C принадлежит директрисе d.

A₁D₁ ⊥ d, A₂D₂ ⊥ d.

Треугольник FA₁D₁ – равнобедренный (FA₁=A₁D
по определению параболы)
A₁C– высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
∠ FA₁C = ∠D₁A₁C = α
тогда
∠ FCA₁=∠D₁CA₁= β
α + β =90 °

Аналогично, треугольник FA₂D₂ – равнобедренный (FA₂=A₂D по определению параболы)
A₂C– высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
∠ FA₂C = ∠D₂A₂C =
и
∠ FCA₂=∠D₂CA₂

Углы D₂ СF и D₁C F – cмежные.
Их cумма 180 °.
Биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.
∠ А₂CA₁= 90 °.

Значит,
∠ FCA₂=∠D₂CA₂=α
∠ FA₂C = ∠D₂A₂C = β

CF ⊥ A₁A₂
CF– кратчайшее расстояние от С до A₁A₂.
Значит, три точки A₁, F и А₂ лежат на гипотенузе прямоугольного треугольника A₁CA₂