Задача 29576 log(1/2)(x+1)*log2x > log((x+1)) x...

slava191

2018-09-11 16:40:06

log(1/2)(x+1)*log2x > log((x+1)) x [6.60]

sova

2018-09-11 20:47:54

★

ОДЗ:
{x+1 > 0 ⇒ x > -1;
{x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{x>0;
ОДЗ: [b] x ∈ (0;+ ∞ )[/b]
По формуле перехода к другому основанию:
log_(1/2)(x+1)=log_(2)(x+1)/log_(2)(1/2)=-log_(2)(x+1)=log_(2)1/(x+1)

log_(x+1)x=log_(2)x/log_(2)(x+1).

Неравенство принимает вид:
(log_(2)1/(x+1))log_(2)x > log_(2)x/log_(2)(x+1);

(log_(2)1/(x+1))log_(2)x - (log_(2)x/log_(2)(x+1)) > 0;

log_(2)x*(log_(2)(1/(x+1))-(1/log_(2)(x+1))) > 0

log_(2)(1/(x+1))=-log_(2)(x+1)

log_(2)x*(log^2_(2)(x+1) + 1)/(log_(2)(x+1)) < 0

Так как (log^2_(2)(x+1) + 1) > 0 при любом х ∈ ОДЗ, то

(log_(2)x)/(log_(2)(x+1)) < 0

Находим нули числителя:
log_(2)x=0
x=1
Находим нули знаменателя:
log_(2)(x+1)=0
x+1=1
x=0
С учетом ОДЗ:

(0) __-_ (1) __+__

О т в е т. (0;1)