Задача 29576 log(1/2)(x+1)*log2x > log((x+1)) x...

slava191

11 сентября 2018 г. в 16:40

log_1/2(x+1)·log₂x > log_(x+1) x [6.60]

sova

11 сентября 2018 г. в 20:47

★

ОДЗ:
{x+1 > 0 ⇒ x > –1;
{x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{x>0;
ОДЗ: x ∈ (0;+ ∞ )
По формуле перехода к другому основанию:
log_1/2(x+1)=log₂(x+1)/log₂(1/2)=–log₂(x+1)=log₂1/(x+1)

log_x+1x=log₂x/log₂(x+1).

Неравенство принимает вид:
(log₂1/(x+1))log₂x > log₂x/log₂(x+1);

(log₂1/(x+1))log₂x – (log₂x/log₂(x+1)) > 0;

log₂x·(log₂(1/(x+1))–(1/log₂(x+1))) > 0

log₂(1/(x+1))=–log₂(x+1)

log₂x·(log²₂(x+1) + 1)/(log₂(x+1)) < 0

Так как (log²₂(x+1) + 1) > 0 при любом х ∈ ОДЗ, то

(log₂x)/(log₂(x+1)) < 0

Находим нули числителя:
log₂x=0
x=1
Находим нули знаменателя:
log₂(x+1)=0
x+1=1
x=0
С учетом ОДЗ:

(0) __–_ (1) __+__

О т в е т. (0;1)