Задача 37028 Провести полное исследование и построить...

vk438647110

2019-05-14 10:37:33

Провести полное исследование и построить график функции

sova

2019-05-14 12:25:39

f(x)=(x-2)^2*(x-4)^2

Область определения (- ∞; + ∞)
y ≥ 0 при любом х, значит график расположен в верхней полуплоскости.

Точки касания с осью Ох

(x-2)^2*(x-4)^2=0

x=2; x=4


y`=((x-2)^2)`*(x-4)^2 + (x-2)^2*((x-4)^2)`

y`=2(x-2)*(x-4)^2 + (x-2)^2*2(x-4)

y`=2*(x-2)*(x-4)*(x-4+x-2)

y`=2*(x-2)*(x-4)*(2x-6)

y`=4*(x-2)*(x-3)*(x-4)

y`=0

4*(x-2)*(x-3)*(x-4)=0


x=2 ; x=3; x=4

Знак производной
_-_ (2) __+_ (3) _-__ (4) __+__

y`< 0 на (- ∞; 2) и на (3;4)
значит функция убывает на (- ∞; 2) и на (3;4)

y`>0 на (2;3) и на (4;+ ∞)
значит функция возрастает на (2;3) и на (4;+ ∞)

x=2 и х=4 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.1