Задача 41253 Найти производные функции одной...

vk148376984

5 ноября 2019 г. в 21:42

Найти производные функции одной переменной:
а) y=ln√x⁵ – 4x²+3 ; б) y=tg3x – 2cos4x ; в) y=e^√sin4x ; г) y=[m]\frac{2cos^2x}{sinx}[/m]

sova

5 ноября 2019 г. в 22:20

а) y=ln√(x⁵ – 4x²+3)

ln√(x⁵ – 4x²+3)=ln(x⁵ – 4x²+3)^1/2=(1/2)ln(x⁵ – 4x²+3)

y`=([m]\frac{1}{2}[/m])ln(x<sup>5</sup>–4x<sup>2</sup>+3))`

применяем формулу (lnu)`=[m]\frac{u`}{u}[/m]

=[m]\frac{1}{2}\cdot \frac{(x^5-4x^2+3)`}{x^5-4x^2+3}=\frac{5x^4-8x+3}{2(x^5-4x^2+3)}[/m]


б) y`=(tg3x – 2cos4x)`=
применяем формулы: (tgu)`=[m]\frac{u`}{cos^2u}[/m] и (cosu)`=(–sinu)·u`

=[m]\frac{(3x)`}{cos^23x}[/m] – 2·(–sin4x)·(4x)`=

=[m]\frac{3}{cos^23x}[/m]+8sin4x

в) y=e^√sin4x применяем формулу (e^u)`=e<sup>u</sup>·u`

=e^√sin4x · (√sin4x )` применяем формулу

(√u)`=[m]\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]

=e^√sin4x ·[m]\frac{ (sin4x)`}{2\sqrt{sin4x}}[/m]

применяем формулу (sinu)`=(cosu)·u`

=4(cos4x)·[m]\frac{e^{\sqrt{sin4x} }}{2\cdot \sqrt{sin4x}}[/m]=

=[m]\frac{2\cdot cos4x\cdot e^{\sqrt{sin4x}}}{\sqrt{sin4x}}[/m]
г) y=[m]\frac{2cos^2x}{sinx}[/m]

Применяем правило

[m](\frac{u}{v})`=\frac{u`*v-u*v`}{v^2}[/m]

[m]y`=2\cdot\frac{(cos^2x)`\cdot sinx-cos^2x\cdot(sinx)`}{sin^2x}[/m]

[m]y`=2\cdot\frac{(2cosx)(cosx)`\cdot sinx-cos^2x\cdot(sinx)`}{sin^2x}=2\cdot\frac{(2cosx)(-sinx)\cdot sinx-cos^2x\cdot(cosx)}{sin^2x}=[/m]

[m]=\frac{-4sin^2xcosx-2cos^3x}{sin^2x}[/m]