Задача 43246 ...

qwerty125

6 января 2020 г. в 21:04

Найти производные указанных порядков для следующих функций:

x=cost,y=sint,y′′_xx=?

sova

7 января 2020 г. в 11:00

★

[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}[/m]

[m]y`_{t}=(sint)`=cost[/m]

[m]x`_{t}=(cost)`=-sint[/m]

[m]y`_{x}=\frac{cost}{-sint}=[/m]


[m]y``_{xx}=\frac{(y`_{x})`_{t}}{x`(t)}[/m] ⇒


[m]y``_{xx}=\frac{(\frac{y`_{t}}{x`_{t}})`_{t}}{x`(t)}[/m] ⇒


[m]y``_{xx}=\frac{y``_{tt}\cdot x`(t)-y`(t)\cdot x``(t)}{(x`(t))^3}[/m]


y``_tt=(cost)`=–sint

x``_tt=(–sint)`=–cost


[m]y``_{xx}=\frac{-sint\cdot (-sint)-cost\cdot (-cost)}{-sin^3t}=-\frac{1}{sin^3t}[/m]

можно проще, так:

[m]y`_{x}=\frac{cost}{-sint}=-ctgt[/m]

[m]y``_{xx}=\frac{(y`_{x})`_{t}}{x`(t)}[/m] ⇒

[m]y``_{xx}=\frac{(-ctgt)`_{t}}{(-sint)}=\frac{\frac{1}{sin^2t}}{-sint}=-\frac{1}{sin^3t}[/m]