Задача 47585 В параллелограмме ABCD со сторонами...

vk131539142

2020-04-19 21:41:39

В параллелограмме ABCD со сторонами AD=5, AB=4 проведён отрезок EF, соединяющий точку Е стороны ВС с точкой F стороны CD. Точки E и F выбраны так, что ВЕ : EC = 1 : 2; CF : FE = 1 : 5, Известно, что точка М пересечения диагонали АС с отрезком FЕ удовлетворяет условию MF : МЕ = 1 : 4. Найти диагонали параллелограмма.

sova

2020-04-19 22:38:24

Продолжим FE до пересечения с АВ.

Δ ВКЕ ~ ΔCFE по двум углам ⇒ ВК:СF=ВЕ:ЕС=1:2

Пусть ВК=x, тогда [b]CF=2x,[/b] тогда FE=10x ( СF:FE=1:5),

MF : МЕ = 1 : 4 ⇒ [b]MF=2x[/b], [blue]ME=8x[/blue] ⇒ Δ FCM - равнобедренный

Δ FCM ~ Δ KMA

Δ KMA- равнобедренный

[b]КМ=АК[/b]

AK=AB+BK=4+x

KM=4+x

[blue]ME=8x[/blue] ⇒[b] КЕ[/b]=КМ-МЕ=4+х-8х=[b]4-7х[/b]

Δ ВКЕ ~ ΔCFE ⇒ KE:EF=1:2

(4-7x):10x=1:2 ⇒ x=1/3

FE=10/3
CF=2/3
CE=(2/3)BC=10/3

ΔEFC по теореме косинусов:
FE^2=CE^2+CF^2-2*CE*CF*cos ∠ C ⇒

cos ∠ C=0,1

По теореме косинусов из Δ BCD:

BD^2=4^2+5^2-2*4*5*0,1=16+25-4=37 ⇒ BD=sqrt(37)

По свойству диагоналей параллелограмма:
AC^2+BD^2=2*AB^2+2*AD^2 ⇒ AC^2=2*16+2*25-37=45

АС=3sqrt(5)

О т в е т.[b] sqrt(37) [/b] и[b] 3sqrt(5)[/b]