Задача 45851 ...

annyanne

2 апреля 2020 г. в 21:32

3. ∫(3x² – 4) dx / (x + 7)(x² – 2x + 1)

sova

2 апреля 2020 г. в 22:58

x²–2x+1=(x–1)²

Правильную дробь разложим на простейшие дроби:
[m]\frac{3x^2-4}{(x+7)(x-1)^2}=\frac{A}{x+7}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}[/m]

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
3x²–4=A·(x–1)²+B·(x+7)·(x–1)+D·(x+7)

Применяем метод частных значений

Выбираем такие значения, при которых выражения в скобках обращаются в нуль:
При x=1
3·(–1)²–4=A·0+B·0+D·(1+7)

–1=8D ⇒ [m]D=-\frac{1}{8}[/m]

При х=–7
143=64А ⇒ [m]A=\frac{143}{64}[/m]
и любое третье значение, например,
при x=0
–4=A–7B+7D
7B=4+ [m]\frac{143}{64}[/m])+7· [m](-\frac{1}{8})[/m]

7B=[m]\frac{343}{64}[/m]

[m]В=\frac{49}{64}[/m]


[m]\int \frac{3x^2-4}{(x+7)(x^2-2x+1)}dx=
\int (\frac{A}{x+7}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2})dx=[/m][m]=Aln|x+7|+Bln|x-1|-D\frac{1}{x-1}+C[/m]

где

[m]D=-\frac{1}{8}[/m]
[m]A=\frac{143}{64}[/m]
[m]В=\frac{49}{64}[/m]