Задача 52947 В прямоугольном треугольнике АВС точка М...

slava191

2020-07-31 22:28:31

В прямоугольном треугольнике АВС точка М лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С, причём СМ = ВС и CN = АС.

а) Отрезки СН и CF —высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.

б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM, если ВС = 4, а АС = 8.

sova

2020-08-01 09:40:28

★

a) Δ АВС= ΔNCM по двум катетам ( cм. рис. 1)

Тогда в этих треугольниках равны соответствующие острые углы
( обозначим их α и β ) и высоты: [b]CH=CF[/b] ( см. рис.2)

∠ FCH= α + β =90 ° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника АВС равна 90 ° :α + β=90 ° )

б)
ВС=4
АС=8

ΔBCM - прямоугольный равнобедренный BС=СM=4 ⇒ [b]BM=4sqrt(2)[/b]

ΔBLN - прямоугольный равнобедренный АС=СN=8 ⇒ [b]BL[/b]=LN=12*(sqrt(2)/2)=[b]6sqrt(2)[/b]

LM= BL-BM=6sqrt(2)-4sqrt(2)=2sqrt(2)

О т в е т. [b]LM=2sqrt(2)
[/b]