Задача 44876 В правильной четырехугольной призме...

slava191

2020-03-08 22:09:18

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания в два раза меньше высоты призмы.

а) Докажите, что расстояние от точки О1 - пересечения диагоналей основания A1B1C1D1 до плоскости BDC1 в три раза меньше высоты призмы

б) Найдите расстояние между прямыми С1О и АВ, если сторона основания призмы равна 1, где О - пересечения диагоналей основания ABCD [Ларин 14]

sova

2020-03-09 16:17:37

а)
Пусть сторона основания равна х, высота призмы [b]H[/b]=2х

В основании квадрат.

ОС=AC/2=х*sqrt(2)/2

Из треугольника ОСС_(1) по теореме Пифагора:
ОС^2_(1)=OC^2+CC^2_(1)=(xsqrt(2)/2)^2+(2x)^2=9x^2/2
OC_(1)=3х*sqrt(2)/2

Расстояние от точки О_(1) BDC1- длина перпендикуляра О_(1)К проведенного к ОС_(1)

Это высота прямоугольного треугольника ОО_(1)С_(1), проведенного к гипотенузе ОС_(1)

О_(1)К *OC_(1)= [b]OO_(1)[/b]*O_(1)C

O_(1)C=OC_(1)=х*sqrt(2)/2

О_(1)К *(3xsqrt(2)/2)= H*x*sqrt(2)/2)

O_(1)K=[b]H/3[/b]

б)

[red]АВ=ВС=АС=AD=1[/red]

[red]H=2[/red]

Чтобы найти расстояние между [i]скрещивающимися прямыми[/i] АВ и О_(1)С, проводим плоскость α через ОС_(1) || AB.
Проводим прямую, параллельную АВ через точку О_(1)
Через точку С такая прямая есть - Это СD ( см. рис. б)

Через точку Р - середину АВ и M - середину CD проводим плоскость
PO_(1)M

Высота PT - расстояние между АВ и пл. α

Находим ее ( [i]методом площадей [/i])из равенства :
(1/2)PM*OO_(1)=(1/2)PT*О_(1)М

Из Δ О_(1)ОМ по теореме Пифагора

O_(1)M^2=OM^2+OO^2_(1)=(1/2)^2+(2)^2=17/4

O_(1)P=O_(1)M=sqrt(17)/2

PT=PM*OO_(1)/O_(1)M=1*2/sqrt(17)/2=[b]4/sqrt(17)[/b]

О т в е т. [b]4/sqrt(17)=4sqrt(17)/17[/b]