Задача 37557 Найдите все значения параметра а, при...

dtt

2019-05-25 14:10:53

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
12|x^2-4|=2a+|a-12x+12|+36 имеет ровно три различных корня.

sova

2019-05-25 15:22:23

★

12|x^2–4|=2a+|a–12x+12|+36

Вынесем (-12) в выражении с модулем справа за скобки и за знак модуля:

12|x^2-4|=|(-12)|*|x-((a/12)+1)|+2a+36
Делим на 12
[b]|x^2-4|=|x-((a/12)+1)|+(a/6)+3[/b]

Строим график
y=|x^2-4|

График
y=|x-((a/12)+1)| +(a/6)+3 можно получить из графика y=|x| параллельным переносом вершины в точку ( ((a/12)+1); (a/6)+3}
Пусть x_(o)=(a/12)+1
y_(o)=(a/6)+1

(a/12)+1=x_(o) ⇒ a=12x_(o)-12
y=(12x_(o)-12)/6 + 1

[b]y_(o)=2x_(o)+1 [/b]

Так как график y=|x| представляет из себя прямой угол ("галочку"),то график |x-((a/12)+1)| +(a/6)+3
расположен так, что одна сторона этого прямого угла, параллельна прямой у=х, вторая параллельна прямой у=-х

"Уголок" прямого угла лежит на прямой y=2x+1

Смотрим в какой ситуации три решения
см. рис.

(-2;0) - одно из таких решений..

12|(-2)^2–4|=2a+|a–12*(-2)+12|+36

2a+36=-|a+36|

2а+36=-а-36
3a=-72
[b]a=-24[/b]
или

2а+36=а+36
a=0 ( не подходит, так как
уравнение
12*|x^2-4|=|-12x+12|+36
|x^2-4|=|x-1|+3
имеет четыре решения
cм. рис.2

Аналогично находим и второе значение
a=1

О т в е т. -24; 1