Задача 52854 ...

slava191

11 июля 2020 г. в 18:57

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

{ log₅(16 – y²) = log₅(16 – a²x²),
{ x² + y² = 6x + 4y

имеет ровно два решения.

sova

12 июля 2020 г. в 10:53

[m]\left\{\begin{matrix} 16-y^2>0\Rightarrow -4<y<4\\ 16-a^2x^2>0\Rightarrow-4<ax<4 \\ 16-y^2=16-a^2x^2\Rightarrow y^2=a^2x^2 \\ (x-3)^2+(y-2)^2=13 \end{matrix}\right.[/m]


(x–3)²+(y–2)²=13 – уравнение окружности с центром (3;2) и R=√13

причем окружность проходит через начало координат.


y²=a²x² ⇒ |y|=|ax| ⇒ y= ± ax – семейство двух пересекающихся прямых, проходящих через начало координат.

Эти прямые имеют с окружностью три общие точки.(Одна из них (0;0)

Условия 1) и 4)
16–y²>0
(x–3)²+(y–2)²=13 задают на плоскости область, см. рис.

Поэтому если прямые проходят внутри угла, ограниченного зелеными прямыми, то тогда они имеют только две точки пересечения с окружностью

y=ax

(6;4)

4=a·6

a=2/3

О т в е т. a > 2/3