Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k=0
k*(k-1)=0
k1=0; k2=1– корни действительные различные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(0х)+C_(2)*e^(x)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ax*e^(x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=Ax`*e^(x)+Ax*(e^(x))`=Ae^(x)*(1+x)
y``_(част)=A(e^(x))`*(1+x)+Ae^(x)*(1+x)`=Ae^(x)(1+x+1)=Ae^(x)*(x+2)
подставляем в данное уравнение:
Ae^(x)*(x+2)-Ae^(x)*(1+x)=e^(x)
Ах+2А-А-Ах=1
A=1
О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)= [b]С_(1)+C_(2)*e^(x)+x*e^(x)[/b]