Задача 22402 Разложить по формуле Тейлора функцию...

slava191

15 января 2018 г.

Разложить по формуле Тейлора функцию f(x) в точке x0:

1) f(x)=xe^x, x0=–1
2) f(x)=ln(2x–1), x0=1

SOVA

15 января 2018 г.

1) можно использовать стандартные разложения с помощью замены переменной
x+1=t
Если х→–1, то t→0
f(x)=x·e^x или
f(t)=(t–1)·e^t–1
Разложим функцию f(t) по степеням t, используя разложение
e^t=1+t+(t²/2!)+(t³/3!)+(t⁴/4!)+(t⁵/5!) + o(t⁵)
o(t⁵) – остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано

(t–1)·e^t–1=(1/e)·t·e^t–(1/e)·e^t

(1/e)·t·e^t=(1/e)·(t+t²+(t³/2!)+(t⁴/3!)+(t⁵/4!)+ о(t⁵))
–(1/e)·e^t=(1/e)·(–1–t–(t²/2!)–(t³/3!)–(t⁴/4!)–(t⁵/5!) + o(t⁵))
Cкладываем:

f(t)=(1/e)·(–1+(t²/2)+(t³/3)+(t⁴/8)+(t⁵/30)+o(t⁵))

Обратная замена

x·e^x=(1/e)·(–1+((x+1)²/2)+((x+1)³/3)+((x+1)⁴/8)+((x+1)⁵/30)+o((x+1)⁵))

сравнить ответ с ответом, полученным с помощью машинного разложения.