Задача 41674 ...
Условие
Решение
y``-y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0
k_(1)=-1 или k_(2)=1
По правилу общее решения однородного дифференциального уравнения с различными действительными корнями имеет вид:
[b]y_(одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)[/b]
[b]y_(одн)= C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)[/b] - общее решение
однородного дифференциального уравнения
Частного решение неоднородного уравнения находим в виде
y_(част)=Ax^2+Bx+C
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2А
Подставляем в данное уравнение:
2А-(Ax^2+Bx+C)=x^2-x-1
-Ax^2-Bx+2A-C=x^2-x-1
{-A=1 ⇒ A=-1
{-B=-1 ⇒ B=1
{2A-C=-1 ⇒ C=2A+1=-1
y_(част)= -x^2+x-1
y_(общ неод)=y_(общ)+y_(част)= [blue]C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-x^2+x-1[/blue]
Решение задачи Коши:
y(0)=0
Значит
[blue]C_(1) e^(-0)+C_(2)e^(0)-0^2+0-1=0[/blue]
[blue]C_(1)*1+C_(2)*1=1[/blue]
y`= [blue](C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-x^2+x-1)`
y`=- C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-2x^2+1[/blue]
y`(0)=1
1=- C_(1) +C_(2)+1
- C_(1) +C_(2)=0
Из двух уравнений:
{C_(1)*1+C_(2)*1=1
{- C_(1) +C_(2)=0
Складываем:
2C_(2)=1
C_(2)=0,5
C_(1)=C_(2)=0,5
О т в е т.
y_(общ неод)= [blue]C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-x^2+x-1[/blue]
y=[blue]0,5* e^(-x)+0,5*e^(x)-x^2+x-1[/blue] - частное решение, решение задачи Коши при данных начальных условиях