Задача 13090 Решите неравенство:...

slava191

21 января 2017 г.

Решите неравенство: √4√3sin(πx/3)–4sin²(πx/3)–3·(log_2/3(3x+22)/(14–x)) ≤ 0

SOVA

21 января 2017 г.

★

ОДЗ:
{4√3sin(πx/3)–4sin²(πx/3) –3≥ 0;
{(3x+22)/(14–x) > 0

Решаем первое неравенство
4√3sin(πx/3)–4sin²(πx/3)–3 ≥ 0;
или
4sin²(πx/3)–4√3sin(πx/3)+3≤ 0;
замена переменной
sin(πx/3)=t;
4t²–4√3+3≤ 0;
D=(–4√3)²–4·4·3=0
Значит неравенство можно записать в виде:
(2t–√3)² ≤ 0
Оно верно лишь при t=√3/2
sin(πx/3)=√3/2
(πx/3)=(π/3)+2πk, k∈Z или (πx/3)=(2π/3)+2πk, k∈Z
Сокращаем на (π)
(x/3)=(1/3)+2k, k∈Z или (x/3)=(2π/3)+2n, n∈Z
х=1+6k, k∈Z или х=2+6n, n∈Z

Решаем второе неравенство:
(3x+22)/(14–x) > 0 ⇒ (–22/3;14)
Пересечением двух множеств служат точки:
х=–5;1;7;13
и
х=–4;2;8
ОДЗ: х=–4;–5;1;2;7;8;13

В условиях ОДЗ неравенство принимает вид:
log_2/3(3x+22)/(14–x) ≤ 0;
log_2/3(3x+22)/(14–x) ≤ log_2/31;
основание логарифмической функции 0 < (2/3) < 1 функция убывает, значит
(3x+22)/(14–x) ≥ 1;
(3х+22–14+х)/(14–х) ≥ 0
(4x+8)/(14–x)≥ 0
____[–2] __+___ (14) ___
х ∈ [–2;14) .
С учетом ОДЗ получаем ответ
x=1;x=2; х=7;х=8;х=13
О т в е т. 1;2; 7;8;13