Задача 35648 Решите иррациональные уравнения: 1)...

ladykaramel

10 апреля 2019 г. в 16:00

Решите иррациональные уравнения:
1) (х+4)(х+1)–3 √х²+5x+2 = 6
2) √x – 1/x – √1 – 1/x = (x–1)/x

sova

10 апреля 2019 г. в 16:15

(x+4)(x+1)=x²+5x+4

Замена переменной

√x²+5x+2=t
x²+5x+2=t²

x²+5x+4=t²+2

Уравнение

t²+2–3t=6

корни
–1 и 4

√x²+5x+2=–1 не имеет решений

√x²+5x+2=4
x²+5x+2=16

x²+5x–14=0
D=25+56=81
x=–7 или х=2

Проверка.
–7 и 2 – корни уравнения

О т в е т. –7; 2

2)

ОДЗ:
{x–(1/x) ≥ 0
{1–(1/x) ≥ 0

x∈[–1;0) U(1;+ ∞)


√x–(1/х) – √1–(1/x)=(x–1)/x

Умножаем на

√x–(1/х) + √1–(1/x)

x –(1/x) – 1+(1/x) = ((x–1)/x)(√x–(1/х) + √1–(1/x)

или

х–1=((x–1)/x)(√x–(1/х) + √1–(1/x)

х=1 корень уравнения

1=(1/x)·(√x–(1/х) + √1–(1/x)
или

(√x–(1/х) + √1–(1/x)=х



Вычитаем из второго первое:

2√1–(1/x)=x–((x–1)/х)

Возводим в квадрат

4·(1– 1/х))=x²–2·(x–1)+(1–(1/x))²


4 – (4/x) =x²+(1/x²)–2x+2+1–2/x

x²+(1/x²)–2x+2+1–(2/x)+(4/x)–4

Замена
√x–(1/x)=t

x – (1/x)=t²

x²–2+(1/x)²=t⁴

x²+(1/x²)=t⁴+2

t⁴+2–2t–1=0

t⁴–2t+1=0

t=1

√x–(1/x)=1

x–(1/x)=1

x²–x–1=0

D=5

x=(1–√5)/2; х=(1+√5)/2
удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (1–√5)/2; 1; (1+√5)/2