Задача 35648 Решите иррациональные уравнения: 1)...

ladykaramel

2019-04-10 16:00:14

Решите иррациональные уравнения:
1) (х+4)(х+1)-3 sqrt(х^2+5x+2) = 6
2) sqrt(x - 1/x) - sqrt(1 - 1/x) = (x-1)/x

sova

2019-04-10 16:15:45

(x+4)(x+1)=x^2+5x+4

Замена переменной

sqrt(x^2+5x+2)=t
x^2+5x+2=t^2

x^2+5x+4=t^2+2

Уравнение

t^2+2-3t=6

корни
-1 и 4

sqrt(x^2+5x+2)=-1 не имеет решений

sqrt(x^2+5x+2)=4
x^2+5x+2=16

x^2+5x-14=0
D=25+56=81
x=-7 или х=2

Проверка.
-7 и 2 - корни уравнения

О т в е т. -7; 2

2)

ОДЗ:
{x-(1/x) ≥ 0
{1-(1/x) ≥ 0

x∈[-1;0) U(1;+ ∞)


[b]sqrt(x-(1/х)) - sqrt(1-(1/x))=(x-1)/x[/b]

Умножаем на

sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

x -(1/x) - 1+(1/x) = ((x-1)/x)(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

или

х-1=((x-1)/x)(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

[b]х=1 корень уравнения[/b]

1=(1/x)*(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))
или

[b](sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))=х[/b]



Вычитаем из второго первое:

2sqrt(1-(1/x))=x-((x-1)/х)

Возводим в квадрат

4*(1- 1/х))=x^2-2*(x-1)+(1-(1/x))^2


4 - (4/x) =x^2+(1/x^2)-2x+2+1-2/x

x^2+(1/x^2)-2x+2+1-(2/x)+(4/x)-4

Замена
sqrt(x-(1/x))=t

x - (1/x)=t^2

x^2-2+(1/x)^2=t^4

x^2+(1/x^2)=t^4+2

t^4+2-2t-1=0

t^4-2t+1=0

t=1

sqrt(x-(1/x))=1

x-(1/x)=1

x^2-x-1=0

D=5

x=(1-sqrt(5))/2; х=(1+sqrt(5))/2
удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (1-sqrt(5))/2; 1; (1+sqrt(5))/2