Задача 13593 Решите уравнение aSinx+2(корень...
Условие
Решение
asinx+bcosx=c
Метод решения- введение вспомогательного угла.
Пусть R=sqrt(a^2+b^2)
Делим уравнение на R
Получаем
(a/R)*sinx+(b/R)*cosx=c/R
Если ввести в рассмотрение угол φ, такой, что
sinφ=a/R; cosφ=b/R ( sin^2φ+cos^2φ=1),то уравнение принимает вид
cos(x-φ)=c/R
Уравнение имеет решения в том случае, когда
|c/R| меньше или равно 1 (#)
В условиях данной задачи
R=sqrt(a^2+4(a+1))=sqrt(a^2+4a+4)=sqrt((a+2)^2)=|a+2|
Данное уравнение имеет вид
cos(x-φ)=(2a+1)/|a+2|, где
sinφ=a/|a+2|; cosφ=2sqrt(a+1)/|a+2|.
Условие (#) принимает вид
|(2a+1)/|a+2|| меньше или равно 1.
или
-1 меньше или равно (2a+1)/|a+2| меньше или равно 1.
Раскрываем модуль
Если a+2 больше или равно 0, то
-1 меньше или равно (2a+1)/(a+2) меньше или равно 1.
Система
{a больше или равно -2;
{-1 меньше или равно (2a+1)/(a+2)⇒ 3a≥-3;
{(2a+1)/(a+2) меньше или равно 1⇒a≤1.
-1 ≤ а ≤1.
Или
Если a+2 < 0, то
-1 меньше или равно (2a+1)/(-a-2) меньше или равно 1.
Система
{a < -2;
{-1 меньше или равно (2a+1)/(-a-2)⇒ a≥1;
{(2a+1)/(-a-2) меньше или равно 1⇒3a≤-3.
Система не имеет решений.
Уравнение
cos(x-φ)=(2a+1)/|a+2|,
имеет решения при -1 ≤ а ≤1.
При -1 ≤ а ≤1
|a+2|=a+2
x- φ=± (arccos (2a+1)/(a+2))+2πk, k∈Z
x=arcsin(a/(a+2))± (arccos (2a+1)/(a+2))+2πk, k∈Z