Задача 33608 Помогите пожалуйста решить...
Условие
Решение
F(x;y;z)=x^3+y^3-e^(y^2+z^2)-3tgz
F `_(x)=3x^2
F`_(y)=3y^2-e^(y^2+z^2)*(2y)
F`_(z)=-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z)
По формулам нахождения частных производных функции, заданной неявно:
z`_(x)= -F`_(x)/F`_(z)=-3x^2/(-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z))=
=3x^2/(e^(y^2+z^2)*2z-(3/cos^2z))
z`_(y)=-F`_(y)/F`_(z)=(-3y^2-e^(y^2+z^2)*2y)/(-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z))=
=(3y^2+e^(y^2+z^2)*2y)/(e^(y^2+z^2)*2z-(3/cos^2z))
5.
Уравнение касательной плоскости
F`_(x)(M_(o))*(x-x_(o))+F`_(y)(M_(o))*(y-y_(o))+F`_(z)(M_(o))*(z-z_(o))=0
Уравнение нормали:
(x-x_(o))/F`_(x)(M_(o))=(y-y_(o))/F`_(y)(M_(o))=(z-z_(o))/F`_(z)(M_(o))
F(x;y;z)=y^2-x^2-3xy+z
F `_(x)=-2x-3y
F`_(y)=2y-3x
F`_(z)=1
F `_(x)(M_(o))=-2*1-3*3=-11
F`_(y)(M_(o))=2*3-3*1=3
F`_(z)(M_(o))=1
-11*(x-1)+3*(y-3)+1*(z-1)=0
-11x+3y+z+1=0
[b]11x-3y-z-1=0[/b] - уравнение касательной плоскости
[b](x-1)/(-11)=(y-3)/3=(z-1)/1[/b] - уравнение нормали
6.
По формуле производной сложной функции:
z=arcsinu
z`=u`/sqrt(1-u^2)
z`_(x)=(x^2-2y)`_(x)/sqrt(1-(x^2-2y)^2)=2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2);
z`_(y)=(x^2-2y)`_(y)/sqrt(1-(x^2-2y)^2)= -2/sqrt(1-(x^2-2y)^2);
z``_(xx)=(2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(x)= производная частного=
=(2x)`_(x)*sqrt(1-(x^2-2y)^2)-2x*(sqrt(1-(x^2-2y)^2)`_(x)/(1-(x^2-2y)^2)=
=(2*sqrt(1-(x^2-2y)^2)-2x*(1/2(sqrt(1-(x^2-2y)^2)) * (1-(x^2-2y)^2)`_(x))/(1-(x^2-2y)^2)=
=[b]([/b]4*(1-(x^2-2y)^2)-2x*(-2(x^2-2y))*(2x)[b])[/b]/(2*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))=
=(4 - 4*(x^2-2y)^2+8x^2*(x^2-2y))/(2*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))=
=(2 - 2*(x^2-2y)^2+4x^2*(x^2-2y))/((1-(x^2-2y)^2)^(3/2))
По формуле производной сложной функции
y=1/sqrt(u):
y`=(u^(-1/2))`
y`=(-1/2)u^(-3/2) * u`
z``_(xy)=(2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(y)=2x*((1-(x^2-2y)^2)^(-1/2))`_(y)=
=2x*(-1/2)*(1-(x^2-2y)^2)^(-3/2) * (1-(x^2-2y)^2)`_(x)=
=-x*(-2(x^2-2y))*(2x)/(1-(x^2-2y)^(3/2)=
=(4x^2*(x^2-2y))/(1-(x^2-2y)^(3/2)
По формуле производной сложной функции
y=1/sqrt(u):
y`=(u^(-1/2))`
y`=(-1/2)u^(-3/2) * u`
z``_(yy)=( -2/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(y)=
=(-2)*(-1/2)*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))* (1-(x^2-2y)^2)`_(y)=
=-2(x^2-2y)*(-2)/((1-(x^2-2y)^(3/2)=4(x^2-2y)/((1-(x^2-2y)^2)^(3/2))