Задача 33608 Задание №4 Найти частные производные...

leronmarkevich

16 февраля 2019 г. в 13:59

Задание №4

Найти частные производные [m] z'_x, z'_y, z'_t [/m] функции, заданной неявно

15. [m] x^3 + y^3 - e^{y^2+z^2} = 3 tg z [/m].

Задание №5

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности [m] S [/m] в точке [m] M_0(x_0, y_0, z_0) [/m].

15. [m] S: y^2 = x^2 + 3 xy - z [/m], [m] M_0 (1; 3; 1) [/m].

Задание №6

Найти частные производные второго порядка функции [m] z = f(x,y) [/m].

15. [m] z = \arcsin(x^2 - 2y) [/m].

sova

16 февраля 2019 г. в 15:42

★

4.

F(x;y;z)=x³+y³–e^y2+z2–3tgz

F `<sub>x</sub>=3x<sup>2</sup>
F`_y=3y²–e^y2+z2·(2y)
F`_z=–e^y2+z2·2z– (3/cos²z)

По формулам нахождения частных производных функции, заданной неявно:
z`<sub>x</sub>= –F`_x/F`<sub>z</sub>=–3x<sup>2</sup>/(–e<sup>y2+z2</sup>·2z– (3/cos<sup>2</sup>z))=
=3x<sup>2</sup>/(e<sup>y2+z2</sup>·2z–(3/cos<sup>2</sup>z))
z`_y=–F`<sub>y</sub>/F`_z=(–3y²–e^y2+z2·2y)/(–e^y2+z2·2z– (3/cos²z))=
=(3y²+e^y2+z2·2y)/(e^y2+z2·2z–(3/cos²z))

5.

Уравнение касательной плоскости
F`<sub>x</sub>(M<sub>o</sub>)·(x–x<sub>o</sub>)+F`_y(M_o)·(y–y_o)+F`<sub>z</sub>(M<sub>o</sub>)·(z–z<sub>o</sub>)=0
Уравнение нормали:
(x–x<sub>o</sub>)/F`_x(M_o)=(y–y_o)/F`<sub>y</sub>(M<sub>o</sub>)=(z–z<sub>o</sub>)/F`_z(M_o)

F(x;y;z)=y²–x²–3xy+z

F `<sub>x</sub>=–2x–3y
F`_y=2y–3x
F`_z=1

F `<sub>x</sub>(M<sub>o</sub>)=–2·1–3·3=–11
F`_y(M_o)=2·3–3·1=3
F`_z(M_o)=1


–11·(x–1)+3·(y–3)+1·(z–1)=0
–11x+3y+z+1=0
11x–3y–z–1=0 – уравнение касательной плоскости

(x–1)/(–11)=(y–3)/3=(z–1)/1 – уравнение нормали

6.
По формуле производной сложной функции:

z=arcsinu
z`=u`/√1–u²

z`<sub>x</sub>=(x<sup>2</sup>–2y)`_x/√1–(x²–2y)²=2x/√1–(x²–2y)²;
z`<sub>y</sub>=(x<sup>2</sup>–2y)`_y/√1–(x²–2y)²= –2/√1–(x²–2y)²;

z``_xx=(2x/√1–(x²–2y)²)`_x= производная частного=

=(2x)`<sub>x</sub>·√1–(x<sup>2</sup>–2y)<sup>2</sup>–2x·(√1–(x<sup>2</sup>–2y)<sup>2</sup>`_x/(1–(x²–2y)²)=

=(2·√1–(x²–2y)²–2x·(1/2(√1–(x²–2y)²) · (1–(x²–2y)²)`_x)/(1–(x²–2y)²)=

=(4·(1–(x²–2y)²)–2x·(–2(x²–2y))·(2x))/(2·(1–(x²–2y)²)^3/2)=

=(4 – 4·(x²–2y)²+8x²·(x²–2y))/(2·(1–(x²–2y)²)^3/2)=

=(2 – 2·(x²–2y)²+4x²·(x²–2y))/((1–(x²–2y)²)^3/2)


По формуле производной сложной функции
y=1/√u:

y`=(u<sup>–1/2</sup>)`
y`=(–1/2)u<sup>–3/2</sup> · u`

z``_xy=(2x/√1–(x²–2y)²)`<sub>y</sub>=2x·((1–(x<sup>2</sup>–2y)<sup>2</sup>)<sup>–1/2</sup>)`_y=

=2x·(–1/2)·(1–(x²–2y)²)^–3/2 · (1–(x²–2y)²)`_x=

=–x·(–2(x²–2y))·(2x)/(1–(x²–2y)^3/2=

=(4x²·(x²–2y))/(1–(x²–2y)^3/2

По формуле производной сложной функции
y=1/√u:

y`=(u<sup>–1/2</sup>)`
y`=(–1/2)u<sup>–3/2</sup> · u`

z``_yy=( –2/√1–(x²–2y)²)`_y=

=(–2)·(–1/2)·(1–(x²–2y)²)^3/2)· (1–(x²–2y)²)`_y=

=–2(x²–2y)·(–2)/((1–(x²–2y)^3/2=4(x²–2y)/((1–(x²–2y)²)^3/2)