Задача 28582 ...
Условие
1. Дифференциал 1-го порядка функции 2-х переменных
2. Вычислить интеграл
∫ (x + 2) ⋅ ln(x) dx
3. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
xy' = y - x e^(y / x)
Все решения
u=lnx
v=(x+2)dx
du=dx/x
v=(x^2/2)+2x
∫ (x+2)lnxdx=((x^2/2)+2x)*lnx- ∫ ((x/2)+2)dx=
=((x^2/2)+2x)*lnx - (x^2/4)-2x + C
Дифуравнение перепишем в виде:
y`=(y/x)- e^(y/x)
Это уравнение вида
y`= phi (y/x)
Замена переменной
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x`
y`=u`*x+u
Подставляем в уравнение
u`*x+u =u-e^(u)
u`*x=-e^(u) - уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
xdu/dx = - e^(u)
du/e^(u)=-dx/x
e^(-u)d(-u)=dx/x
Интегрируем
e^(-u) =lnx+lnc
cx=e^(-y/x)
x=Ce^(-y/x) C=(1/c)