Задача 28582 ...

vk204717778

21 июня 2018 г.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №6

1. Дифференциал 1–го порядка функции 2–х переменных
2. Вычислить интеграл

∫ (x + 2) ⋅ ln(x) dx

3. Решить дифференциальное уравнение 1–го порядка

xy' = y – x e^{y / x}

SOVA

21 июня 2018 г.

Интеграл вычисляют методом интегрирования по частям
u=lnx
v=(x+2)dx

du=dx/x
v=(x²/2)+2x

∫ (x+2)lnxdx=((x²/2)+2x)·lnx– ∫ ((x/2)+2)dx=

=((x²/2)+2x)·lnx – (x²/4)–2x + C

Дифуравнение перепишем в виде:
y`=(y/x)– e^y/x

Это уравнение вида
y`= phi (y/x)

Замена переменной
y/x=u
y=ux
y`=u`·x+u·x`
y`=u`·x+u

Подставляем в уравнение

u`·x+u =u–e^u

u`·x=–e^u – уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

xdu/dx = – e^u

du/e^u=–dx/x

e^–ud(–u)=dx/x

Интегрируем

e^–u =lnx+lnc

cx=e^–y/x
x=Ce^–y/x C=(1/c)