Задача 27360 ...

u18539113108

5 ноября 2018 г. в 00:00

Решите неравенство log_(x–2)² (9^x − 3) ≤ 0

SOVA

5 ноября 2018 г. в 00:00

★

ОДЗ:
{(x–2)² > 0 ⇒ x ≠ 2
{(x–2)² ≠ 1 ⇒ x – 2 ≠ –1 и х – 2 ≠ 1 ⇒ х ≠ 1 и х ≠ 3
{9^x–3 > 0 ⇒ 9^x > 3 ⇒ 3^2x > 3 ⇒ 2x > 1 ⇒ x > 0,5

ОДЗ: x ∈ (0,5; 1) U (1;2) U (2;3) U (3;+ ∞ )

Так как 0=log_(x–2)²1,

log_(x–2)²(9^x–3) ≤ log_(x–2)²1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств

((x–2)²–1)·(9^x–3–1) ≤ 0

(x–1)(x–3)·(9^x–4) ≤ 0

Применяем обобщенный метод интервалов

Находим нули функции y=(x–1)(x–3)(9^x–4)

x=1
x=3
9^x–4=0 ⇒ 9^x=4 ⇒ x=log₉4=log_3²2²=(2/2)log₃2 =log₃2 < 1=log₃3
Расставляем знаки на ОДЗ

(0,5) _–__ [ log₃2] _+_ (1) __–__ (2) __–__ (3) __+__

О т в е т. (0,5; log₃2] U (1;2) U(2;3)