Задача 27128 Найти общее решение дифференциального...
Условие
Решение
y`-(1/(х^2+x))у=1
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Существует два способа решения
метод вариации произвольных постоянных и метод Бернулли.
Решаю методом Бернулли.
Будем искать решение в виде
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-(1/(x^2+x))*u*v=1
Перегруппируем
u`*v+[b]u*(v`-(1/(x^2+x))*v)[/b]=1 (#)
Так как u(x) и v(x) - произвольные функции.
Будем искать v(x) так, чтобы
[b]v`-(v/(x^2+x))[/b]=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=dx/(x^2+x)
ln|v|=ln|x|-ln|x+1| ( полагаем с=0)
v=x/(x+1)
Подставляем v в (#)
u`*(x/(x+1))=1
u`=(x+1)/x - уравнение с разделяющимися переменными
du=(x+1)dx/x
u=x+ln|x|+ C
y=u*v=(x+ln|x|+C)*x/(x+1) - о т в е т.