Задача 34749 Геометрическая задача: Высота...

vk160064007

2019-03-21 03:25:44

Геометрическая задача:
Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при основании равен a.Найдите объемы пирамиды и вписанного в пирамиду шара.

( Решить задачу для h=3, a=60 )

sova

2019-03-21 09:13:14

★

1)
АВС- равносторонний треугольник.
DO_(1)=h
∠ DKO_(1)= α

O_(1)- центр правильного треугольника, т.е центр вписанной и описанной окружностей.
О_(1)K=r ( радиусу вписанной окружности)
В правильном треугольнике со стороной а
[b]r=asqrt(3)/6 [/b]

В прямоугольном треугольнике DO_(1)K
tg α=DO_(1)/O_(1)K ⇒
O_(1)K=DO_(1)/tg α
[b]r=h/tg α [/b]

Приравниваем правые части выделенных равенств
asqrt(3)/6=h/tg α

a=6h/(sqrt(3)*tgα)=2sqrt(3)h/tgα

V_(пирамиды)=(1/3)S_(осн)*h

Площадь равностороннего треугольника со стороной а:

S( Δ)=a^3sqrt(3)/4

[b]V_(пирамиды)[/b]=(1/3)(2sqrt(3)h/tgα)^2*(sqrt(3)/4)*h=

= [b]sqrt(3)h^3/tg α [/b]

при h=3
α =60 градусов:

V_(пирамиды)=sqrt(3)*(3)^3/tg60 градусов [b]=27[/b]

2)

Радиус вписанного шара
R=ОM=OO_(1)
находим из прямоугольного треугольника ОКО_(1)
КО - биссектриса ∠ DKO_(1)= α

tg α/2=OO_(1)/O_(1)K

R=O_(1)K*tg( α /2)= htg( α/2)/tg α

[b]V_(шара)[/b]=(4/3)πR^3= [b](4/3)π*(h^3tg^3( α /2)/tg^3 α )[/b]

при h=3
α =60 градусов

V_(шара)=(4/3)π*(3^3tg^3(30^(o))/tg^3 60^(o))= [b]4h^3/81[/b]