Задача 30327 Чему равно выражение и как это...

vk211220904

2018-10-18 20:45:05

Чему равно выражение и как это вывести:
1^2+2^2+...+(n-1)^2= ?

sova

2018-10-18 20:56:44

★

Есть формула:
1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6
(слева n слагаемых)

Доказательство
Метод математической индукции
1) База индукции:
проверяют для n=1

1^2=(1*2*3/6) - верно
2)
Индукционное предположение:
Предполагают, что формула верна для
n=k,
1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
(слева к слагаемых)
И используя это предположение,
доказывают справедливость для следующего за k , т.е

для n=k+1,
1²+...+k²+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
слева (k+1) слагаемое

Доказываем
1²+...+k²+(k+1)²=(1²+...+k²)+(k+1)²=

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=(k+1)(k(2k+1)/6+(k+1))=

=(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))/6=(k+1)(2k²+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Что и требовалось доказать

Тогда

1^2+2^2+... +(n-1)^2=(n-1)*n*(2*(n-1)+1)/6=(n-1)*n*(2n-1)/6

О т в е т. (n-1)*n*(2n-1)/6