Задача 30327 Чему равно выражение и как это...

vk211220904

18 октября 2018 г. в 20:45

Чему равно выражение и как это вывести:
1²+2²+...+(n–1)²= ?

sova

18 октября 2018 г. в 20:56

★

Есть формула:
1²+2²+...+n²=n·(n+1)·(2n+1)/6
(слева n слагаемых)

Доказательство
Метод математической индукции
1) База индукции:
проверяют для n=1

1²=(1·2·3/6) – верно
2)
Индукционное предположение:
Предполагают, что формула верна для
n=k,
1²+2²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6
(слева к слагаемых)
И используя это предположение,
доказывают справедливость для следующего за k , т.е

для n=k+1,
1²+...+k²+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
слева (k+1) слагаемое

Доказываем
1²+...+k²+(k+1)²=(1²+...+k²)+(k+1)²=

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=(k+1)(k(2k+1)/6+(k+1))=

=(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))/6=(k+1)(2k²+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Что и требовалось доказать

Тогда

1²+2²+... +(n–1)²=(n–1)·n·(2·(n–1)+1)/6=(n–1)·n·(2n–1)/6

О т в е т. (n–1)·n·(2n–1)/6