Задача 45318 ...

vk139970910

25 марта 2020 г. в 14:01

.Здравствуйте. Помогите решить задачу. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x²+2y²+1 в замкнутой области D, заданной системой неравенств x≥ 0, y≥ 1, x+y≤3. Сделать чертеж.

sova

25 марта 2020 г. в 14:04

Находим частные производные:
z`<sub>x</sub>=2x
z`_y=4y

Находим стационарные точки:
{z`<sub>x</sub>=0
{z`_y=0

{2x=0 ⇒ х=0
{4y=0 ⇒ у=0

(0;0) – стационарная точка

Рисуем область
(0;0) – стационарная точка этой области не принадлежит.

Значит, наибольшее и наименьшие значения функция принимает на границах области.

y=1
z=x²+2·1²+1
z=x²+3 – парабола на [0;2] cм рис. y=1 рассматривается при
0 ≤ х ≤ 2
Парабола возрастает, z`=2x>0 при любом х ∈ [0;2] ⇒
При х=0 наименьшее z=3
При х=2 наибольшее z=7

x=0
z=0²+2·y²+1
z=2y²+1 – парабола на [1;3] cм рис.
прямая x=1 рассматривается при
1 ≤ х ≤ 3
Парабола возрастает, z`=4y>0 при любом y ∈ [1;3] ⇒
При y=1 z=3
При y=3 z=2·3²+1; z(0;3)=19

x+y=3 ⇒ x=3–y
z=(3–y)²+2·y²+1
z=3y²–6y+10 – парабола на [0;2] cм рис.
отрезок прямой x+y=3 при
0 ≤ х ≤ 2
z`=6y–6
z`=0
y=1 ⇒ x=2
z(2;1)=7
При х=0 ⇒ y=3 z(0;3)=19
При х=2 ⇒ y= 1 z=7

Выбираем наибольшее и наименьшее
z_{наибольшее}=19
z_{наименьшее}=3