Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 39363 Доказать непосредственно сходимости ряда...

Условие

Доказать непосредственно сходимости ряда и найти сумму

математика ВУЗ 859

Все решения

Находим n-ую частичную сумму:

[m]S_{n}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+...+(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}})=[/m]

Перегруппировываем.

=[m](\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n}})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}})=[/m]

Применяем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

[m]=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}}=1-(\frac{1}{2})^n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3})^n)=[/m]

[m]=\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^n-\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3})^n[/m]

[m]S=\lim_{n \to\infty }S_{n}=\lim_{n \to\infty }(\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^n-\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3})^n)=\frac{3}{2}[/m]

[red]По определению [/red]ряд [b]сходится,[/b] так как существует конечный предел n-ой частичной суммы.


Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК