Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1...

valdemar310

2018-12-10 19:47:07

Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0

sova

2018-12-10 20:31:31

★

Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector{n}=(1;4;-3)

(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)

Найдем координаты точки K - точки пересечения этой прямой и плоскости
Решаем систему:
{(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)
{x+4y-3z+7=0

Обозначим отношение
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1

подставим в уравнение плоскости

( λ +2) +4*(4λ +3)-3*(-3 λ +1)+7=0
26 λ=-18
λ=-9/13

x_(К)=(-9/13)+2=
y_(К)=4*(-9/13)+3=
z_(К)=-3*(-9/13)+1=

Найдем координаты точки В - точки пересечения данной прямой и данной плоскости.

Решаем систему:
{(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2
{x+4y-3z+7=0

Обозначим отношение
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1

подставим в уравнение плоскости

5t+2+4*(t+3)-3*(2t+1)+7=0
3t=-18
t=-6

x=5*(-6)+2=-28
y=-6+3=-3
z=2*(-6)+1=-11

В(-28; -3; -11)

Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки