Задача 31272 Известна точка пересечения диагоналей...

vk200620828

2018-11-25 15:25:16

Известна точка пересечения диагоналей квадрата К( 1,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон х-4у = 0. Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

sova

2018-11-25 17:20:03

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4

Уравнение диагонали в общем виде:
y=k_(1)x+b

tg β =k_(1)

β - α =45^(o)

(Диагонали квадрата являются биссектрисами прямых углов квадрата, значит угол между стороной и диагональю квадрата равен 45^(o))

Так как
tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )
и

tg45^(o)=1


(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3


y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

2,5=(5/3)*1,5+b
b=0
y=(5/3)x

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

y=(-3/5)x+3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
{х-4у=0
{у=(5/3)х

x=0
y=0


Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
{х-4у=0 ⇒ y=(1/4)x
{у=(-3/5)х+3,4

(1/4)x=(-3/5)x+3,4
(17/20)x=3,4

x=4
y=1

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

О т в е т. (0;0); (4;1);(3;5);(-1;4)