Задача 33751 Решить логарифмическое неравенство....

vk160064007

2019-02-20 16:26:40

Решить логарифмическое неравенство.
номер 11

sova

2019-02-20 17:48:45

★

ОДЗ:
{x^2-2x>0 ⇒ x < 0 или x > 2
{x^-2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 ± sqrt(2)
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{sqrt(x^2) ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
{x^6-2x^5>0 ⇔ x^2-2x>0

x ∈ (- ∞; -1) U(-1;1-sqrt(2))U(1-sqrt(2);0) U(2;1+sqrt(2))U(1+sqrt(2);+ ∞)

Главное выполнять преобразования, которые не сужают ОДЗ

log_(sqrt(x^2))(x^6-2x^5)=log_((x^2)^(1/2)) (x^6-2x^5)=

=1/(1/2) *log_(x^2) (x-2)*x^5=2 log_(x^2)((x-2)*x^5)

=2log_(x^2) (x^2-2x)+2log_(x^2)x^4=2log_(x^2)(x^2-2x)+4

Неравенство принимает вид:

log_(x^2-2x)x^2 + 2log_(x^2)(x^2-2x)+4 >4

log_(x^2-2x)x^2 + 2log_(x^2)(x^2-2x) >0

t + (2/t) > 0 ⇒ t > 0 ⇒

log_(x^2-2x)x^2 > 0

Применяем метод рационализации

(x^2-2x-1)(x^2-1) >0

__+__ (-1 ) _-__ (1-sqrt(2)) __+__ (1) __-__ (1+sqrt(2)) _+__

с учетом ОДЗ

(- ∞; -1) U(1-sqrt(2);0) U1+sqrt(2);+ ∞) - о т в е т