Задача 14972 (x^2+y^2)dx+2xydy=0...

u1766984112

12.04.2017

(x^2+y^2)dx+2xydy=0

SOVA

12.04.2017

★

Однородное уравнение вида
P(x;y)x+Q(xy)dy=0.
Перепишем уравнение в виде:
x^2+y^2+2xyy`=0
Замена
у=ux
y`=u`x+ux` (x`=1)
y`=u`x+u

x^2+y^2+2xyy`=0
x^2+(ux)^2+2xy*(u`x+u)=0
x^2+3x^2u2+2x^3uu`=0
Делим на х^2
1+3u2+2xuu`=0
u`=du/dx
2xdu=-(1+3u^2)dx- уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
2udu/(1+3u^2)=-dx/x
Интегрируем
(1/3)ln(1+3u^2)=-ln|x|+lnC
x*∛ (1+3(y/x)^2)=C