Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 35520 Используя методы дифференциального...

Условие

Используя методы дифференциального исчисления, исследуйте функцию и постройте ее график

математика 594

Решение

1.Область определения функции
(-бесконечность;2)U(2;+бесконечность)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(-x)=(-x)^2/((-x)-2) =x^2/(-x-2)=-x^2/(x+2)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=0
(0;0)- точка пересечения и осью Ох и с осью Оу.


4. Асимптоты

x=2 - вертикальная асимптота
lim_(x→2-0)= - ∞
lim_(x→2+0)= + ∞

y=x+2- наклонная асимптота:
k=lim_(x→∞)f(x)/x=lim_(x→∞)(x^2)/(x*(x-2)=1
b=lim_(x→∞)(f(x)-kx)=lim_(x→∞)(f(x)-x)=lim_(x→∞)(x^2-x^2+2x)/(x-2)=2

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=((x^2)`*(x-2)-(x-2)`*x^2)/(x-2)^2
y`=(2x^2-4x-x^2)/((x-2)^2
y`=(x^2-4x)/(x-2)^2
y`=0
x^2-4x=0
x*(x-4)=0
x=0 или х=4
Расставляем знак производной:
_+__ (0) _-__ (2) _-__(4) _+__

х= 4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция возрастает на ( - бесконечность;0) (4;+ бесконечность)
убывает на ( 0;2) и на (2;4)

6.Интервалы выпуклости, точки перегиба

y``=((x^2-4x)`*(x-2)^2 - ((x-2)^2)`*(x^2-4x))/(x-2)^4

y``=(2x^2-4x-4x+8-2x^2+8x)/(x-2)^3

y``=8/(x-2)^3

y`` < 0 на (-бесконечность;2)
Кривая выпукла вверх на (-бесконечность;2)

y``>0 на (2;+ бесконечность)

Кривая выпукла вниз на (2;+ бесконечность)





Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК