Задача 12680 ...
Условие
Решение
1) Если х больше или равно 0, то |x|=x, функция принимает вид
f(x)=x^3-6x^2+(9+6a-3a^2)x
Находим производную
f `(x)=3x^2-12x+(9+6a-3a^2)
f `(x)=0
3x^2-12x+(9+6a-3a^2)=0
или
x^2-4x+(3+2a-a^2)=0
D=(-4)^2-4*(3+2a-a^2)=16-12-8a+4a^2=
=4a^2-8a+4=(2a-2)^2
x_(1)=(4-(2a-2))/2 или х_(2)=(4+(2а-2))/2;
x_(1)= 3-а или х_(2)=1+a;
Находим знак производной на [0;3]
a) при 0 < a < 1
1 < a+1 < 2
2 < 3-a < 3
Обе точки принадлежат отрезку [0;3]
__+__ (a+1) __-__ (3-a) __+_
a+1
x=a+1 - точка максимума,
f(a+1)=(a+1)^3-6*(a+1)^2+(9+6a-3a^2)*(a+1)=
=(a+1)*(-2a^2+2a+4)
б)если 1 < a < 2, то
2 < a+1 < 3
1 < 3-a < 2
____ (0) _+__ (3-а) __-__ (а+1) ___+___
x=3-a - точка максимума.
f(3-a)=(3-a)^3-6(3-a)^2+(9+6a-3a^2)*(3-a)=
=2*(3-a)*(6-a)
в)2 < a+1 < 3
3 < a+1 < 4
0 < 3-a < 1
точка х=а+1 не принадлежит отрезку [0;3],
[0]__+_ (3-a) _-___ [3]_-_(a+1)
x=3-a - точка максимума.
г) a > 3, то точки х=a+1 b x=3-a не принадлежат отрезку [0;3]
_ (3-a) _-_ [0] _-__ [3] _-_ (a+1) _+__
Функция убывает на [0;3] и потому наибольшее значение функция принимает в нуле.
f(0)=0
2) Если х < 0, то |x|= - x, функция принимает вид
f(x)=-x^3-6x^2+(3a^2+6a-9)x
Находим производную
f `(x)= - 3x^2-12x+(3a^2+6a-9)
f `(x)=0
-3x^2-12x+(3a^2+6a-9)=0
или
x^2+4x+(3-2a-a^2)=0
D=4^2-4*(3-2a-a^2)=16-12+8a+4a^2=
=4a^2+8a+4=(2a+2)^2
x_(1)=(-4-(2a+2))/2 или х_(2)=(-4+(2а+2))/2;
x_(1)= -3-а или х_(2)= a - 1;
Находим знак производной на [-3;0)
a) если -1 < a < 0
-2 < a-1 < -1
-3 < -3-a < -2
Точки х=(a-1) и х=(-3-а) принадлежат промежутку [-3;0)
__-__ (-3-a) __+__ (a-1) __-_
x=(a-1) - точка максимума.
f(a-1)=-(a-1)^3-6*(a-1)^2+(3a^2+6a-9)*(a-1)=
=2*(a-1)*(a^2+2a+2)-наибольшее значение функции.
б)если -2 < a < -1 то -3 < a-1 < -2;
-2 < -3-a < -1 и
___ (-2) _-_ (а-1) _+_ (-3-a) _-_ (-1) _
x=-3-a - точка максимума.
f(-3-a)=-(-3-a)^3-6(-3-a)^2+(3a^2+6a-9)*(-3-a)=
=2a*(-3-a)*(a+3)- наибольшее значение функции
в)если -3 < a < -2 , то -4 < a-1 < -3
то a-1 - не принадлежит промежутку [-3;0),
_+__ (-3-a) _-_ [0]
х=-3-a - точка максимума
Наибольшее значение функции
Наибольшее значение функция принимает в нуле.
f(-3-a)=2a*(-3-a)*(a+3)- наибольшее значение функции
г) если a < -3, то a-1 < -4;
3-a > 0
__+_ (а-1) _-_ [-3] _-__ (0) __-_ (3-a)+
функция убывает на [-3;0) и наибольшее значение принимает при х=-3
f(-3)=-(-3)^3-6*(-3)^2+(3a^2+6a-9)*(-3)=
=-9a^2-18a
О т в е т.
a∈(- ∞; –3)
f(–3)=–9a^2–18a - наибольшее значение функции
a∈(- 3; –1)
f(–3–a)=2a·(–3–a)·(a+3)– наибольшее значение функции
a∈(–1; 0)
f(a–1)=2·(a–1)·(a2+2a+2)–наибольшее значение функции.
a∈(0;1)
f(a+1)=(a+1)·(–2a2+2a+4)- наибольшее значение функции
a∈(1;3)
f(3–a)=2·(3–a)·(6–a)- наибольшее значение функции
a∈(3;+ ∞)
f(0)=0 - наибольшее значение функции