Задача 16046 В системе координат Оxyz расположен куб...

slava191

26 мая 2017 г.

В системе координат Оxyz расположен куб ABCDA1B1C1D1 так, что D(1;0;0), C1(0;0;1), В(0;1;0), С(0;0;0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние:

1. До прямой АС1 от точки:
а) А1;
б) В1;
в) С.

2. До плоскости А1ВС1 от точки:
а) В1;
б) С;
в) D1;
г) D.

3. Между прямыми:
а) А1С1 и АB1;
б) BD1 и В1C
в) BD и В1М, где М — середина ребра АВ.

SOVA

27 мая 2017 г.

★

Cм. рисунок.
1a)
C1A1 (1;1;0)
C1A (1;1;–1)
C1A1· C1A=1·1+1·1+0·(–1)=2
|C1A1|=√2
|C1A|=√3
cos∠A1C1A=2/(√2·√3)=√2/3
sin∠A1C1A=√1–(√2/3)²=1/√3
d=|A1C1|·sin∠A1C1A=√2·(1/√3)=√2/3.
1б)
C1A (1;1;–1)
C1В (0;1;–1)
C1A· C1В=1·0+1·1+(–1)·(–1)=2
|C1A|=√3
|C1В|=√2
cos∠AC1В=2/(√3·√2)=√2/3
sin∠AC1В=√1–(√2/3)²=1/√3
d=|С1В|·sin∠AC1В=√2·(1/√3)=√2/3.
1в)
C1A (1;1;–1)
C1С (0;0;–1)
C1A· C1С=1·0+1·0+(–1)·(–1)=1
|C1С1|=√1=1
|C1A|=√3
cos∠AC1С=1/(√3·√1)=1/√3
sin∠AC1С=√1–(1/√3)²=√2/3
d=|СC1|·sin∠AC1С=1·(√2/3)=√2/3.

2а)
Пусть М(х;у;z)– произвольная точка плоскости А1ВС1
Тогда векторы
MB(x;y–1;z); A1B(1;0;1); A1C(1;1;0) компланарны ( лежат в одной плоскости).
Условие компланарности : определитель третьего порядка, составленный из координат указанных векторов равен 0.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости А1ВС1:
x–y–z+1=0
Расстояние от точки с координатами (х_о;у_о;z_o) находим по формуле
d=|x_o–y_o–z_o+1|/√3d=|0
2a)
d=|0–1–1+1|/√3=1/√3;
2б)
d=|0–0–0+1|/√3=1/√3;
2в)
d=|1–0–1+1|/√3=1/√3
2г)
d=|1–0–0+1|/√3=2/√3
3 а)
Проводим D1C || AB1. Плоскость DC1A1 || AB1
Cоставляем уравнение плоскости DC1A1
Пусть Р(х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
DP (x;y;z); C1D (1;0;–1) и DA1(0;1;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости DC1A1
x–y+z–1=0
расстояние от любой точки прямой АB1, например В1, и есть расстояние между прямыми.
cм формулу в п.2
d(В1)=|0–1+1–1|/√3=1/√3

3б)
Проводим B1F || BD1. Плоскость B1FC || BD1
Cоставляем уравнение плоскости B1FC
F(1;0;2)
Пусть Р(х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
CP (x;y;z); CB (0;1;1) и CF(1;0;2)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости B1FC:
2x–y–z=0
расстояние от любой точки прямой BD1, например В, и есть расстояние между прямыми.
d(В)=|0–1–0|/√4+1+1=1/√6

3в)
Проводим МК || BD и B1D1||BD.
Плоскость MB1D1K || BD
Cоставляем уравнение плоскости MB1D1K

Пусть Р(х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
vectorB1CP} (x;y–1;z–1); B1M (1/2;0;–1) и
B1D1(–1;1;0) – компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскостиMB1D1K:
2x+2y+z–3=0
расстояние от любой точки прямой BD, например D, и есть расстояние между прямыми.
d(D)=|2+0+0–3|/√4+4+1=1/3