Задача 29543 ...

slava191

9 сентября 2018 г. в 13:01

В треугольнике АВС проведены высота ВН и медиана ВМ . Найдите угол ∠MBH , если АВ = 1, ВС = 2 и AM = ВМ. [9.46]

sova

9 сентября 2018 г. в 15:29

★

ВМ – медиана, значит АМ=МС

АМ=ВМ по условию

АМ=ВM=MC

Точка М равноудалена от всех вершин треугольника АВС, поэтому
M – центр описанной окружности.

АС – диаметр этой окружности, и ∠ АВС= 90 °
По теореме Пифагора
AC²=AB²+BC²
AC²=1+4=5
AC=√5
AM=MC=BM=√5/2

Пусть AН=х, тогда из прямоугольного треугольника ABН по теореме Пифагора
BH²=AB²–AH²=1–x²

Из прямоугольного треугольника ВНС (HC=AC–AH=√5–x;

по теореме Пифагора
BH²=BС²–HС²
1 – x² = 2²–(√5 – x)²;
1 – x² = 4–5 +2 √5x –x²;

x=1/√5

BH=√1–x²=√1–(1/√5)²=sqrt(1–(1/5)=√4/5=2/√5

Из прямоугольного треугольника МВН

cos ∠ MBH=BH/BM=(2/√5)/(√5/2)=4/5=0,8

∠ MBH=arccos 0,8