Задача 28160 y''-y'=2e^x +x...
Условие
Все решения
y``-y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k=0
k*(k-1)=0
k_(1)=1; k_(2)=0
Общее решение имеет вид:
y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)
y_(общее, однород)=C_(1)e^x+C_(2)
Правая часть имеет вид
f(x)=f_(1)x+f_(2)x
Определим частное решение для
f_(1)(x)=2e^x
Так как k_(1)=1 cовпадает с коэффициентом
перед х в f_(1)(x), то
[b]y_(1)_(частное)=x*Ae^x[/b]
y`_(1)_(частное)=Ae^x+xAe^x
y``_(1)_(частное)= Ae^x+Ae^x+xAe^x
Подставляем в уравнение
y``-y`=2e^x
(Ae^x+Ae^x+xAe^x)-(Ae^x+xAe^x)=2e^x
Ae^x=2e^x
A=2
y_(1)(x)_(частное) =2xe^x
Определим частное решение для
f_(2)(x)=x
Так как k_(2)=0, (e^(0x))=1 множитель перед х), то
[b]y_(2)_(частное)=x*(ax+b)[/b]
y`_(2)_(частное)=(ax^2+bx)`=2ax+b
y``_(2)_(частное)= 2a
Подставляем в уравнение
y``-y`=x
2a-2ax-b=x
2a-b=0
-2a=1 ⇒ a=-1/2
b=2a=-1
у_(2)(х)=-(1/2)x^2-x
y_(частное)=у_(1)(х)+y_(2)(х)
О т в е т. y=y_(общее, одн)+у_(частное)=
=C_(1)+C_(2)e^x+2xe^x-(1/2)x^2-x