y`=( (3x^2)`*(4+5x^2)-(3x^2)*(4+5x^2)`)/(4+5x^2)^2;
y`=( 6x*(4+5x^2)-(3x^2)*10x)/(4+5x^2)^2;
y`= 6x*(4+5x^2-5x^2)/(4+5x^2)^2;
y`= 24x/(4+5x^2)^2.
y`=0
24x=0
x=0 - точка возможного экстремума.
Расставляем знак производной:
___ - __ (0) __+___
y` < 0 на (- ∞;0)
Функция убывает на (- ∞;0)
y` > 0 на (0;+ ∞)
Функция возрастает на (0;+ ∞
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(0)=0
y``=24*(x`*(4+5x^2)^2-x*((4+5x^2)^2)`)/((4+5x^2)^2)^2;
y``=24*(1*(4+5x^2)^2-x*2*(4+5x^2)(4+5x^2)`)/(4+5x^2)^4;
y``=24*(4+5x^2-x*2* 10x)/(4+5x^2)^3;
y``=24*(4-15x^2)/(4+5x^2)^3
y``=0
4-15x^2=0
x^2=4/15
x=- sqrt(4/15) или х=sqrt(4/15) - точки возможного перегиба.
Знак второй производной:
_-__ (-sqrt(4/15)) __+___ (sqrt(4/15)) __-__
y`` <0 на (- ∞ ; - sqrt(4/15)) и на ( sqrt(4/15); + ∞ )
Функция выпукла вверх
y`` > 0 на ( - sqrt(4/15); sqrt(4/15) )
Функция выпукла вниз.
График на рисунке.