Задача 48894 Найти общее решение дифференциального...

vk185580820

2020-04-29 16:40:54

Найти общее решение дифференциального уравнения:

sova

2020-04-29 17:54:56

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''–6y'+13y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+13=0

D=(-6)^2-4*13=-16

k_(1,2)=(6± 4i)/2

k_(1)=3+2i; k_(2)=3-2i– корни комплексные

α =3; β =2

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(3х)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)


Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=A*e^(2x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=A*e^(2x)*(2x)`=2A*e^(2x)

y``_(част)=4A*e^(2x)

подставляем в данное уравнение:

4A*e^(2x)-6*2A*e^(2x)+13*A*e^(2x)=3e^(2x)

5A=3

A=0,6


О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=

[b]y=e^(3х)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+0,6*e^(2x)[/b]