Задача 35086 Помогите пожалуйста решить...
Условие
Все решения
y`=(y-x)/(y+x)
делим и числитель и знаменатель дроби справа на x
y`=((y/x)-1)/((y/x)+1)
Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
y`=u+x·u`
u+x·u`= (u-1)(u+1)
x·u`= (u-1)(u+1)– u
x·u`=(-u^2-1)/(u+1)– уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
(u+1)du/(-u^2-1)= dx/x
Интегрируем.
∫ (u+1)du/(-u^2-1)= ∫ dx/x
∫ (u+1)du/(-u^2-1)= - ∫udu/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =
= - (1/2) ∫2udu/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =
= - (1/2) ∫d(u^2+1)/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =
[b]=(-1/2)ln|u^2+1|- arctgu + C, где u=y/x[/b]
2.
xdy=(sqrt(x^2+y^2)+y)dx
Однородное
y`=(sqrt(x^2+y^2)+y)/x
y`=sqrt(1+(y/x)^2)+(y/x)
Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
y`=u+x·u`
u+x·u`=sqrt(1+u^2)+u
x·u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
Интегрируем:
∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x
ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x| + lnC
u+sqrt(1+u^2)=Сх
(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx
[b]y+sqrt(x^2+y^2)=Cx^2[/b]
