Задача 17147 2cos(pi/2-x)=(корень из sinx)+cos^2x ,...
Условие
математика 10-11 класс
1131
Решение
★
sinx больше или равно 0
x принадлежит первой или второй четверти.
По формулам приведения
cos((Pi/2)-x)=sinx.
Так как
cos^2x=1-sin^2x
2sinx=sqrt(sinx)+1-sin^2x
sin^2x+2sinx-sqrt(sinx)-1=0
Замена переменной
sqrt(sinx)=t
t^4+2t^2-t-1=0
Пусть f(t)=t^4+2t^2-t-1
При t=0 f(0) =-1 < 0
При t=1 f(1)=1 > 0
На [0;1] уравнение t^4+2t^2-t-1=0 имеет корень.
(cм. рис.)
Пусть t=a
0 < a < 1
sqrt(sinx)=a
sinx=a^2
x=(arcsinx a^2)+2Pik или х=(Pi-arcsina^2)+2Pin, k,n ∈ Z
Второй корень уравнения
t^4+2t^2-t-1=0
отрицательный пусть (-b).
Уравнение sqrt(sinx)=-b не имеет корней.